ГОСТ 34100.3.2-2017/ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011
Группа Т80
МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
Часть 3
Руководство по выражению неопределенности измерения
Дополнение 2
Обобщение на случай произвольного числа выходных величин
Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 2. Extension to any number of output quantities
МКС 17.020
Дата введения 2018-09-01
Предисловие
Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены в ГОСТ 1.0-2015 "Межгосударственная система стандартизации. Основные положения" и ГОСТ 1.2-2015 "Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия, обновления и отмены"
Сведения о стандарте
1 ПОДГОТОВЛЕН Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции" на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии документа, указанного в пункте 4
2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии (Росстандарт)
3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 14 июля 2017 г. N 101-П)
За принятие проголосовали:
Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97 | Код страны по | Сокращенное наименование национального органа по стандартизации |
Беларусь | BY | Госстандарт Республики Беларусь |
Казахстан | KZ | Госстандарт Республики Казахстан |
Киргизия | KG | Кыргызстандарт |
Россия | RU | Росстандарт |
4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 12 сентября 2017 г. N 1067-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 34100.3.2-2017/ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 сентября 2018 г.
5 Настоящий стандарт идентичен международному документу ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011* "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 2. Обобщение на случай произвольного числа выходных величин" ("Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) - Supplement 2: Extension to any number of output quantities", IDT).
________________
* Доступ к международным и зарубежным документам, упомянутым в тексте, можно получить, обратившись в Службу поддержки пользователей. - .
Международный документ разработан Рабочей группой WG 1 Объединенного комитета по руководствам в метрологии (как JCGM 102:2011) и одобрен национальными комитетами международных организаций ISO и IEC.
Официальные экземпляры международного стандарта, на основе которого подготовлен настоящий межгосударственный стандарт, и международных стандартов, на которые даны ссылки, имеются в Федеральном агентстве по техническому регулированию и метрологии.
При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных документов соответствующие межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА
6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
7 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Июль 2018 г.
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе "Национальные стандарты" (по состоянию на 1 января текущего года), а текст изменений и поправок - в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)
Введение
В "Руководстве по выражению неопределенности измерений" (GUM) [JCGM 100:2008] рассматриваются, в основном, одномерные модели измерений, включающие в себя единственную скалярную выходную величину. Однако на практике часто встречаются измерительные задачи с двумя и более выходными величинами. Примеры таких задач имеются в GUM для случаев электрических измерений с тремя выходными величинами [JCGM 100:2008 (раздел Н.2 приложения Н)] и температурных измерений с двумя выходными величинами [JCGM 100:2008 (раздел Н.З приложения Н)]. В настоящем стандарте рассматриваются многомерные модели измерения, включающие в себя произвольное число выходных величин. В большинстве случаев выходные величины коррелированны, поскольку зависят от общих входных величин. В настоящем стандарте рассматривается обобщение способа оценивания неопределенности по GUM [JCGM 100:2008 (раздел 5)], позволяющее получить оценки выходных величин, а также стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие этим оценкам. Входные и выходные величины модели измерения могут быть действительными или комплексными.
Дополнение 1 к GUM [JCGM 101:2008] рассматривает трансформирование распределений [JCGM 100:2008 (раздел 5)] при заданной модели измерения как основу для выражения неопределенности измерения и реализацию данной процедуры посредством метода Монте-Карло [JCGM 100:2008 (раздел 7)]. Как и в GUM, в нем рассмотрены только модели с единственной скалярной выходной величиной [JCGM 101:2008 (раздел 1)]. Настоящий стандарт рассматривает обобщение метода Монте-Карло с целью получения дискретного представления совместного распределения вероятностей для выходных величин многомерной модели. Такое дискретное представление служит основой для получения оценок выходных величин, их стандартных неопределенностей и ковариации. Использование метода Монте-Карло является альтернативой способу оценивания неопределенности по GUM, особенно в ситуациях, когда последний не способен обеспечить достоверные результаты измерений вследствие того, что (а) линеаризация модели приводит к существенному искажению результатов измерения или (б) распределение вероятностей для выходной величины (или величин) не может быть описано многомерным нормальным распределением.
Настоящий стандарт устанавливает также метод определения области охвата для выходных величин многомерной модели, являющейся аналогом интервала охвата в случае одномерной модели, для заданной вероятности охвата. Рассматриваются области охвата в форме эллипсоидов или прямоугольных параллелепипедов. Применение численных процедур расчета неопределенности измерения с использованием метода Монте-Карло дает возможность приближенного построения областей охвата наименьшего объема.
1 Область применения
Настоящий стандарт является дополнением к "Руководству по выражению неопределенности измерения" (GUM) (JCGM 100:2008) и распространяется на модели измерения с произвольным числом входных и выходных величин. Входящие в модель измерения величины могут быть действительными и/или комплексными. Рассмотрено два подхода к использованию таких моделей. Первый представляет собой обобщение способа оценивания неопределенности по GUM. Второй - использование метода Монте-Карло для трансформирования распределений. Использование метода Монте-Карло дает возможность получить достоверные результаты в ситуациях, когда условия применимости первого подхода не выполняются.
Способ оценивания неопределенности по GUM применим, когда информацию о входных величинах можно представить в виде их оценок (например, полученных измерением), связанных с этими оценками стандартных неопределенностей и, при необходимости, ковариаций. Использование соответствующих формул и процедур позволяет на основе указанной информации получить оценки, а также соответствующие им стандартные неопределенности и ковариации для выходных величин. Эти формулы и процедуры применимы к моделям измерения, для которых выходные величины (a) выражены непосредственно как функции от выходных величин (функции измерения) или (b) могут быть получены решением уравнений, связывающих входные и выходные величины.
В целях упрощения формулы, применяемые в настоящем стандарте, даны в матричной форме записи. Дополнительным преимуществом такой формы записи является ее приспособленность к реализации на многих языках программирования и в системах, которые поддерживают матричную алгебру.
Способ оценивания неопределенности измерения с применением метода Монте-Карло основывается на (i) присвоении входным величинам модели измерения соответствующих распределений вероятностей [JCGM 101:2008 (раздел 6)], (ii) определении дискретного представления совместного распределения вероятности для выходных величин и (iii) получения из этого дискретного представления оценок выходных величин, их стандартных неопределенностей и ковариаций. Данный подход является обобщением метода Монте-Карло, установленного в JCGM 101:2008 применительно к моделям с единственной скалярной выходной величиной.
Применение вышеуказанных подходов позволяет получить при заданной вероятности охвата область охвата для выходных величин многомерной модели - аналог интервала охвата для одномерной модели с единственной скалярной выходной величиной. Рассматриваемые в настоящем стандарте области охвата имеют формы гиперэллипсоидов (далее - эллипсоиды) и прямоугольных гиперпараллелепипедов (далее - параллелепипеды) в многомерном пространстве выходных величин. В случае применения метода Монте-Карло приведена также процедура приближенного построения области охвата минимального объема.
Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.
Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним и с Дополнением 1 к GUM (соответственно, JCGM 100:2008 и JCGM 101:2008). Настоящий стандарт предназначен для тех же пользователей, что и два вышеуказанных документа (см. также JCGM 104).
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы*:
________________
* Таблицу соответствия национальных стандартов международным см. по ссылке. - .
JCGM 100:2008, Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM) (Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM))
JCGM 101:2008, Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" - Propagation of distributions using a Monte Carlo method (Оценивание данных измерений. Дополнение 1 к "Руководству по выражению неопределенности измерения". Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло)
JCGM 104:2009, Evaluation of measurement data - An introduction to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" and related documents (Оценивание данных измерений. Введение к "Руководству по выражению неопределенности измерения" и сопутствующим документам)
JCGM 200:2008, International Vocabulary of Metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM) (Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM))
3 Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по JCGM 100:2008 и JCGM 200:2008, некоторые из которых (при необходимости, модифицированные) приведены в настоящем разделе, а также следующие термины с соответствующими определениями (обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении D).
3.1 действительная величина (real quantity): Величина, числовое значение которой является действительным числом.
3.2 комплексная величина (complex quantity): Величина, числовое значение которой является комплексным числом.
Примечание - Комплексная величина
или тригонометрической
где символ "
3.3 векторная величина (vector quantity): Совокупность величин, упорядоченных в виде элементов матрицы с одним столбцом.
3.4 действительная векторная величина (real vector quantity): Векторная величина, элементами которой являются действительные величины.
Пример - Действительная векторная величина
3.5 комплексная векторная величина (complex vector quantity): Векторная величина, элементами которой являются комплексные величины.
Пример - Комплексная векторная величина
3.6 векторная измеряемая величина (vector measurand): Векторная величина, подлежащая измерению.
Примечание - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2.3).
3.7 модель (измерения) (measurement model): Математическое соотношение между всеми величинами, используемыми для получения результата измерения.
Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2.48).
Примечание 2 - В общем виде модель измерения имеет вид уравнения
Примечание 3 - Если модель измерения содержит две и более выходные величины, то она включает в себя более одного уравнения.
3.8 многомерная модель (измерения) (multivariate measurement model): Модель измерения с произвольным числом выходных величин.
Примечание 1 - В общем случае многомерная модель измерения имеет вид уравнений
где
Примечание 2 - Общий вид многомерной модели измерения может быть представлен также в векторной форме
где
Примечание 3 - В случае одной выходной величины, т.е.
3.9 многомерная функция (измерения) (multivariate measurement function): Функция, определяющая зависимость выходных величин от входных величин в многомерной модели измерения.
Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2.49).
Примечание 2 - Если уравнения, входящие в модель измерения
Примечание 3 - В случае одной выходной величины, т.е.
3.10 модель (измерения) с действительными величинами (real measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), в состав которой входят только действительные величины.
3.11 модель (измерения) с комплексными величинами (complex measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), в состав которой входят комплексные величины.
3.12 модель многоступенчатого измерения (multistage measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), состоящая из последовательности подмоделей, связанных между собой таким образом, что выходные величины подмодели одной ступени являются входными величинами подмодели следующей ступени.
Примечание - Зачастую потребность в определении области охвата для выходных величин (на основе их совместного распределения) имеет место только на заключительном этапе измерения.
Пример - Измерение, включающее в себя процедуру калибровки, может рассматриваться как двухступенчатое. Для первой подмодели значениями входных величин являются передаваемые от эталонов и соответствующие им показания средства измерений, а выходными величинами - параметры калибровочной функции (градуировочной характеристики). Эта подмодель определяет способ определения выходных величин по входным величинам, например решением системы уравнений, получаемых при применении метода наименьших квадратов. Входными величинами второй подмодели являются параметры калибровочной функции и новое показание средства измерений, а выходной величиной - измеряемая величина, для получения значения которой было применено средство измерений.
3.13 функция (совместного) распределения (вероятностей) (joint distribution function): Функция, дающая для каждого значения
Примечание - Функцию распределения случайной переменной
3.14 плотность (совместного) распределения (вероятностей) (joint probability density function): Неотрицательная функция
3.15 маргинальная плотность распределения (вероятностей) (marginal probability density function): Плотность распределения
Примечание - Если все элементы
3.16 математическое ожидание (expectation): Характеристика случайной переменной
Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.6).
Примечание 2 - Математическим ожиданием случайной векторной переменной
3.17 дисперсия (variance): Характеристика случайной переменной
Примечание - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.7).
3.18 ковариация (covariance): Характеристика двух случайных переменных
где
Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.10).
Примечание 2 - Ковариационной матрицей случайной векторной переменной
3.19 корреляция (correlation): Характеристика двух случайных переменных
Примечание - Величина
3.20 ковариационная матрица (оценок) (measurement covariance matrix): Связанная с оценкой действительной векторной величины размерности
Примечание 1 - Термин и определение модифицированы по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.11).
Примечание 2 - Ковариационная матрица
где
Примечание 3 - В JCGM 101:2008 ковариационная матрица называется матрицей неопределенности.
Примечание 4 - При работе с ковариационными матрицами могут возникать некоторые вычислительные трудности. Например, ковариационная матрица
где
Примечание 5 - Некоторые операции с использованием
3.21 корреляционная матрица (оценок) (correlation matrix): Связанная с оценкой действительной векторной величины размерности
Примечание 1 - Корреляционная матрица
где
Примечание 2 -
Примечание 3 - Корреляционная матрица
где
Примечание 4 - Корреляционная матрица
Примечание 5 - При представлении численных значений недиагональных элементов корреляционной матрицы часто достаточно округлять их с точностью до трех знаков после запятой. Однако если корреляционная матрица близка к сингулярной, то, чтобы избежать вычислительных сложностей при использовании корреляционной матрицы среди прочих исходных данных в оценивании неопределенности измерения, число сохраняемых десятичных знаков необходимо увеличить. Это число зависит от характера последовательных вычислений, но в качестве ориентировочного значения рекомендуется брать его равным числу десятичных знаков, необходимых для представления наименьшего собственного значения корреляционной матрицы с двумя значимыми десятичными знаками. Так для корреляционной матрицы размерности 2х2 собственные значения
3.22 матрица (коэффициентов) чувствительности (sensitivity matrix): Матрица частных производных первого порядка функций, описывающих модель измерения с действительными величинами, по входным или входным* величинам в точке оценок этих величин.
________________
* Текст документа соответствует оригиналу. - .
Примечание - В случае модели с
3.23 интервал охвата (coverage interval): Интервал, построенный на основе имеющейся информации и содержащий значение скалярной случайной переменной с заданной вероятностью.
Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.12).
Примечание 2 - Вероятностно симметричный интервал охвата для скалярной величины представляет собой интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной переменной меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной переменной больше наибольшего значения (верхней границы) интервала [см. JCGM 101:2008 (словарная статья 3.15)].
Примечание 3 - Наименьший интервал охвата представляет собой интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата [см. JCGM 101:2008 (словарная статья 3.16)].
3.24 область охвата (coverage region): Область, определенная на основе имеющейся информации и содержащая значение векторной случайной переменной с заданной вероятностью.
3.25 вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной переменной находится в границах интервала охвата или области охвата.
Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.13).
Примечание 2 - Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [JCGM 100:2008 (6.2.2)].
3.26 наименьшая область охвата (shortest coverage region): Область охвата, имеющая наименьший объем среди всех возможных областей охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата.
Примечание - В случае скалярной случайной переменной наименьшая область охвата совпадает с наименьшим интервалом охвата. Для случайной переменной, описываемой вектором в двумерном пространстве, наименьшая область охвата представляет собой поверхность с наименьшей площадью из всех, имеющих ту же вероятность охвата.
3.27 многомерное нормальное распределение (вероятностей)
_______________
Примечание -
3.28 многомерное
где
Примечание 1 - Многомерным
Примечание 2 - Плотность
4 Соглашения и условные обозначения
В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.
4.1 В GUM [JCGM 100:2008 (пункт 4.1.1, примечание 1)] для экономии условных обозначений один и тот же символ (прописная буква) используется для:
(i) физической величины, которая предполагает наличие единственного истинного значения;
(ii) случайной переменной, ассоциированной с этой физической величиной.
Примечание - Случайная переменная выполняет разные роли при оценивании неопределенности по типу А и В. При оценивании неопределенности по типу А случайная переменная представляет собой "... возможный результат наблюдения величины". При оценивании неопределенности по типу В вероятность распределения случайной переменной характеризует имеющиеся знания о возможных значениях этой величины.
Эта двойственность обозначений в большинстве случаев не вызывает неудобств.
В настоящем стандарте (так же, как и в JCGM 101:2008) в случае входных величин, неопределенность которых оценивают по типу А, один и тот же символ (прописная буква) использован для трех понятий, а именно:
a) физическая величина;
b) случайная переменная, для которой получают результаты наблюдений;
c) случайная переменная, распределение вероятности которой ассоциируют с имеющимися знаниями о возможных значениях физической величины.
Два последних понятия, относящиеся к случайной переменной, в GUM (JCGM 100:2008) не разделяются, что может явиться источником недоразумений. Так рассматриваемая в настоящем стандарте и в JCGM 101:2008 процедура оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло может быть неправильно истолкована как реализация процедуры, изложенной в JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4, примечание 1). В действительности же, хотя указанные процедуры схожи в том, что в обеих получают выборку значений выходной величины для данной модели измерения из соответствующего распределения, сами распределения в общем случае будут разными. В JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4, примечание 1) это частотное распределение, т.е. случайная переменная интерпретируется в смысле перечисления b), тогда как в методе Монте-Карло это распределение случайной переменной, интерпретируемой в смысле перечисления c). Для большинства измерительных задач подход, предложенный в JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4, примечание 1), не рекомендуется (см. [2]).
4.2 Для входных величин модели измерения в настоящем стандарте принято обозначение
4.3 Для выходных величин модели измерения в настоящем стандарте принято обозначение
4.4 Если
где
где
4.5 Если
или, в другой форме записи (см. 3.8),
4.6 Оценку
4.7 Оценку
Примечание -
4.8 Если оценки выходных величин предполагается использовать по отдельности, то каждая из этих величин может рассматриваться как выходная в соответствующей одномерной модели измерения. Если же, например, для последующих расчетов эти оценки должны быть использованы совместно, то должны быть приняты во внимание корреляции между ними.
4.9 Стандартную неопределенность, соответствующую
4.10 Под
4.11 Как указано в 4.2-4.10, величина в общем случае обозначается с помощью прописной буквы, а ее оценка или некоторое фиксированное значение величины (такое, как математическое ожидание) - соответствующей строчной буквой. Данное правило удобно для общего анализа, но зачастую не подходит для обозначения величин в конкретных приложениях из-за устоявшейся практики использования для конкретных физических величин специальных обозначений, например
4.12 Настоящий стандарт отступает от обозначений, часто используемых для обозначения плотностей распределения вероятностей и функций распределения. В JCGM 100:2008 одно и то же обозначение
4.13 Плотность распределения может быть поставлена в соответствие как скалярной (
4.14 В случае векторных величин плотность распределения для
4.15 Аналогично, в случае скалярных величин (
4.16 Для обозначения десятичной дроби используется запятая
_______________
5 Основные принципы
5.1 Общие положения
5.1.1 В GUM [JCGM 100:2008 (пункт 4.1)] измерение моделируется функцией, связывающей действительные входные величины
5.1.2 На практике не все измерения могут быть смоделированы с помощью функции измерения с одной скалярной выходной величиной. В реальных измерительных задачах могут иметь место:
a) несколько выходных величин
b) более общий вид модели измерения в виде формулы (2), т.е.
5.1.3 Кроме того, некоторые или все элементы
5.1.4 В настоящем стандарте модели, указанные в 5.1.2 и 5.1.3, рассматриваются в более общем виде.
5.2 Основные этапы оценивания неопределенности
5.2.1 Основные этапы оценивания неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:
a) формулировка измерительной задачи включает в себя:
1) задание выходной величины
2) выявление входных величин, составляющих векторную входную величину
3) составление модели измерения, определяющей взаимосвязь
4) приписывание распределений вероятностей (нормального, прямоугольного и т.д.) входным величинам
b) трансформирование распределений предусматривает определение плотности совместного распределения выходной величины
c) получение окончательного результата предполагает использование плотности распределения
1) оценки математического ожидания
2) ковариационной матрицы
3) области охвата, содержащей
5.2.2 Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог. Рекомендации по выбору плотности распределения [стадия 4) этапа а) в 5.2.1] для некоторых общих случаев приведены в JCGM 101:2008 и в 5.3. Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов [б) и в) в 5.2.1], для которых приведены подробные указания, не требуют дополнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой требуемой вычислительной точностью для поставленной задачи.
Примечание - Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.2.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины
5.3 Функции плотности вероятности для входных величин
5.3.1 Общие положения
Руководство по выбору плотностей распределения для входных величин
5.3.2 Многомерное
5.3.2.1 Предположим, что для векторной величины
Примечание - При наличии соответствующих оснований в качестве априорных распределений могут быть взяты другие распределения, что может привести к другому значению числа степеней свободы для
5.3.2.2 Плотность распределения, полученного для
где
5.3.2.3 Математическим ожиданием и ковариацией
где
5.3.2.4 Чтобы сформировать случайное выборочное значение
где
Примечание - Матрица
5.3.3 Построение многомерных функций плотности распределения
Когда входные величины
5.4 Трансформирование распределений
5.4.1 На рисунке 1 слева показан пример модели измерения с
5.4.2 Выходная величина
Так,
Рисунок 1 - Трансформирование распределений для модели с
5.4.3 Объединение функций измерения
5.4.4 Случай, когда на финальном этапе многоступенчатого измерения с применением многомерных подмоделей имеется единственная выходная скалярная величина, может быть рассмотрен с применением JCGM 101:2008.
5.5 Получение итоговой информации
5.5.1 Оценка у выходной величины
5.5.2 Для вероятности охвата
Примечание 1 - Некоторым величинам могут быть поставлены в соответствие случайные переменные с распределениями, для которых математического ожидания и ковариационной матрицы не существует (см., например, 5.3.2). Однако область охвата для
Примечание 2 - В общем случае существует более одной области охвата для заданной вероятности охвата
5.5.3 Прямого многомерного аналога вероятностно симметричного
5.6 Способы трансформирования распределений
5.6.1 Трансформирование распределений осуществляют несколькими способами:
a) аналитическими методами, обеспечивающими получение математического представления плотности распределения для
b) применением закона трансформирования неопределенностей, основанного на замене функции измерения ее аппроксимацией рядом Тейлора с членами разложения первого порядка [обобщение подхода, изложенного в JCGM 100:2008 (пункт 5.1.2)];
c) численными методами [см. JCGM 100:2008 (пункт G.1.5)], в том числе с использованием метода Монте-Карло (ММК).
Примечание 1 - Аналитические методы превосходят все прочие с той точки зрения, что они не используют приближений. Однако они применимы только в простых случаях. Такие методы в настоящем стандарте не рассматриваются за исключением примеров, где они используются для сравнения.
Примечание 2 - Метод Монте-Карло в настоящем стандарте используется для получения распределения векторной выходной величины, а не в качестве метода имитационного моделирования. При оценивании неопределенности на этапе трансформирования распределений решаемая задача является детерминированной, поэтому в имитационном моделировании физического случайного процесса нет необходимости.
5.6.2 В законе трансформирования неопределенностей оценка
5.6.3 На рисунке 2 слева показан обобщенный закон трансформирования неопределенностей для модели измерения с
Рисунок 2 - Обобщенный закон трансформирования неопределенностей для
5.6.4 В методе Монте-Карло совместное распределение вероятностей для
6 Способ оценивания неопределенности по GUM
6.1 Общие положения
6.1.1 В настоящем стандарте способ оценивания неопределенности через трансформирование неопределенностей, рассмотренный в JCGM 100:2008 (пункты 6.2 и 6.3) для моделей измерения вида
6.1.2 Для применения закона трансформирования неопределенностей используется та же информация о входных величинах, что и для одномерной модели измерения, рассмотренной в JCGM 100:2008:
a) оценка
b) ковариационная матрица
6.1.3 Описание трансформирования неопределенностей, приведенное в 6.2 и 6.3, распространяется на модели с действительными величинами, включая случаи комплексных величин, представленных парами действительных составляющих. Трансформирование неопределенностей в случае моделей с комплексными величинами рассматривается в 6.4 (см. также 5.1.3).
6.1.4 Способ получения области охвата для векторной выходной величины описан в 6.5.
6.2 Трансформирование неопределенностей для многомерных моделей измерения с явным видом функциональной зависимости
6.2.1 Общие положения
6.2.1.1 Многомерная модель измерения с явным видом функциональной зависимости между выходной величиной
где
Примечание - Аргументами отдельных функций
6.2.1.2 При заданной оценке
6.2.1.3 Ковариационная матрица размерности
где
где
где все производные берутся в точке
6.2.2 Примеры
Пример 1 - Активное и реактивное сопротивления элемента цепи [JCGM 100:2008 (раздел Н.2)]
Активное
В обозначениях, принятых в настоящем стандарте,
Оценку
Ковариационную матрицу
в точке
Примечание - В JCGM 100:2008 реактивное сопротивление обозначено
Пример 2 - Коэффициент отражения, измеряемый микроволновым рефлектометром (подход 1)
Комплексный коэффициент отражения
где
В обозначениях настоящего стандарта, описывая комплексные величины через их действительные и мнимые части, получаем
Оценку
Ковариационную матрицу
в точке
Пример 3 - Калибровка эталонов массы
Этот пример описывает модель многоступенчатого измерения (см. 3.12, 5.4.2 и 5.4.3).
Набор из
Оценку
где ковариационную матрицу
Многомерная модель измерения для этого примера имеет вид
где
Примечание - С вычислительной точки зрения для получения оценки
6.3 Трансформирование неопределенностей для многомерных моделей измерения с неявным видом функциональной зависимости
6.3.1 Общие положения
6.3.1.1 Многомерная модель измерения с неявным видом функциональной зависимости между выходной величиной
6.3.1.2 При заданной оценке
Примечание - Систему уравнений (7) относительно
6.3.1.3 Ковариационную матрицу
где
Примечание 1 - Ковариационная матрица
Примечание 2 - Формулу (8) получают аналогично формуле (3) с использованием правила дифференцирования неявной функции.
6.3.1.4 Из формулы (8) следует, что решение относительно ковариационной матрицы
где
матрица размерности
6.3.1.5 Процедура расчета матрицы
6.3.2 Примеры
Пример 1 - Давления, задаваемые грузопоршневым манометром
Давление
где
Пусть
В обозначениях, принятых в настоящем стандарте,
________________
* Формула соответствует оригиналу. - .
Модель измерения, определяющая вид зависимости между
Оценку
Ковариационную матрицу
Примечание 1 - В данном примере выражение зависимости
Примечание 2 - Рассматриваемая в данном примере модель измерения может быть представлена разными способами. Например, вместо зависимости, описываемой формулой (12), может быть использована модель в виде сравнения с нулем разности между левой и правой частями уравнения (11). От выбора модели зависит эффективность и устойчивость численного решения.
Примечание 3 - Могут быть рассмотрены более полные модели давления, задаваемые грузопоршневым манометром, которые включают, например, поправки, учитывающие эффекты поверхностного натяжения.
Примечание 4 - Функции измерения имеют в качестве своих аргументов не все входные величины. Так, в выражение для
Пример 2 - Коэффициент отражения, измеренный микроволновым рефлектометром (подход 2)
Другой подход к задаче, описанной в примере 2 из 6.2.2, заключается в выражении зависимости между входной величиной
где
Преимущество этого подхода состоит в том, что вычисление производных и, следовательно, коэффициентов чувствительности производится более прямым способом.
Оценку
Ковариационную матрицу
Пример 3 - Калибровка рефлектометра
Калибровку рефлектометра (см. пример 2 из 6.2.2) обычно проводят, измеряя неисправленный коэффициент отражения
Разделение выражений в левой части уравнения (14) на действительную и мнимую части приведет к получению шести совместных линейных уравнений, решение которых позволяет найти действительную и мнимую части коэффициентов
В обозначениях, принятых в настоящем стандарте,
Входные и выходные величины связаны между собой посредством многомерной модели измерения, в которой
Оценку
Ковариационную матрицу
Примечание 1 - При наличии программы обработки данных, работающей с комплексными величинами, разделение уравнений модели измерения на действительную и мнимую части необязательно. Эти уравнения могут быть решены непосредственно для
Примечание 2 - Каждое
6.4 Трансформирование неопределенности для моделей с комплексными величинами
В приложении A приведен компактный алгоритм вычисления частных производных многомерных комплексных функций измерения первого порядка, которые необходимо знать при распространении закона трансформирования неопределенностей на модели с комплексными величинами. Данный алгоритм может быть применен для многомерных моделей измерения с комплексными величинами общего вида.
Пример - Коэффициент отражения, измеряемый микроволновым рефлектометром (подход 3)
Рассмотрим вновь пример 2 из 6.2.2.
Комплексная выходная величина
где
в точке оценки
использование результатов приложения A дает
где
Ковариационную матрицу
вычисляют по формуле (А.1) приложения А, где
6.5 Область охвата векторной выходной величины
6.5.1 Общие положения
6.5.1.1 В некоторых областях метрологии, например, связанных с электричеством, для дальнейшего использования результатов измерения выходную величину удобно оставить в векторной форме вместе с поставленным ей в соответствие совместным распределением вероятностей. Такое представление результата измерения позволяет в максимальной степени сохранить всю полученную информацию о выходной величине.
6.5.1.2 Если же результат измерения представляют в виде полученной оценки
6.5.1.3 Если доступная информация о выходной величине
Примечание - Такой выбор функции распределения согласуется с используемым в способе оценивания неопределенности по GUM представлением о нормальном распределении скалярной выходной величины
6.5.1.4 В общем случае, как только получено совместное распределение для выходной величины
6.5.1.5 В 6.5.2 рассматривается метод определения области охвата для двумерной величины, что потом позволит распространить его на общий многомерный случай (см. 6.5.3). Также рассматривается определение области охвата для случая, когда оценка выходной величины получена усреднением результатов наблюдений этой величины, представляемых как случайная независимая выборка из многомерного нормального распределения (см. 6.5.4).
6.5.2 Двумерный случай
6.5.2.1 На примере двумерной модели измерения можно продемонстрировать все отличия в определении многомерной области охвата от получения одномерного интервала охвата. Рассмотрим точку
6.5.2.2 Согласно способу оценивания неопределенности по GUM при наличии информации о выходной величине
6.5.2.3 Из возможных форм областей охвата рассматриваются две:
a) эллипс с центром в точке
где
имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Отсюда следует, что
где
b) прямоугольник с центром в точке
и он не зависит от имеющейся информации о величине
Данный прямоугольник представляет собой область охвата для
где
Примечание 1 - При выполнении условий применимости способа оценивания неопределенностей по GUM область охвата в виде эллипса, указанная в перечислении а), является наименьшей 100
Примечание 2 - Если
Пример 1 - Рассмотрим двумерную величину
На рисунке 3 слева показаны 95%-ные эллиптическая и прямоугольная области охвата для
Пример 2 - Рассмотрим двумерную величину
На рисунке 3 справа показаны 95%-ные эллиптическая и прямоугольная области охвата для
Рисунок 3 - Эллиптические и прямоугольные области охвата для двумерной величины
6.5.2.4 Другие примеры областей охвата для выходных величин двумерной модели измерения приведены в разделе 9.
6.5.3 Многомерный случай
Если размерность пространства вектора выходной величины более двух, то способы построения областей охвата становятся менее нагляднымb, но по существу ничем не отлича.тся от описанных в перечислениях a) и b) в 6.5.2.3 для двумерного случая. Необходимо построить такую область
a) эллипсоид в
где
b) параллелепипед в
Таблица 1 - Коэффициенты охвата для областей охвата в форме
1 | 1,96 |
2 | 2,45 |
3 | 2,80 |
4 | 3,08 |
5 | 3,33 |
6 | 3,55 |
7 | 3,75 |
8 | 3,94 |
9 | 4,11 |
10 | 4,28 |
11 | 4,44 |
12 | 4,59 |
13 | 4,73 |
14 | 4,87 |
15 | 5,00 |
20 | 5,60 |
25 | 6,14 |
30 | 6,62 |
40 | 7,47 |
50 | 8,22 |
Таблица 2 - То же, что в таблице 1, но для областей охвата в форме
1 | 1,96 |
2 | 2,24 |
3 | 2,39 |
4 | 2,50 |
5 | 2,58 |
6 | 2,64 |
7 | 2,69 |
8 | 2,73 |
9 | 2,77 |
10 | 2,81 |
11 | 2,84 |
12 | 2,87 |
13 | 2,89 |
14 | 2,91 |
15 | 2,94 |
20 | 3,02 |
25 | 3,09 |
30 | 3,14 |
40 | 3,23 |
50 | 3,29 |
Примечание 1 - Для одномерного случая (
что дает
граничные точки интервала охвата для
Примечание 2 - Если
6.5.4 Область охвата для оценки в виде выборочного среднего из многомерного нормального распределения
Рассмотрим
размерности
будет иметь распределение Фишера
Примечание - Аналогом этого результата для одномерной величины будет следующее утверждение: для независимых случайных переменных
Пример - Рассмотрим
а 95-я перцентиль распределения
Небольшое число наблюдений в данном примере не позволяет сделать содержательные выводы о том, насколько справедливы исходные допущения, чтобы считать построенную область охвата достоверной.
Рисунок 4 - Двенадцать пар выборочных значений и 95%-ная эллиптическая область охвата вокруг их выборочного среднего
7 Метод Монте-Карло
7.1 Общие положения
7.1.1 В настоящем разделе рассматривается применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений (соответствующая процедура описана в 7.1.7 и представлена в виде диаграммы на рисунке 5).
7.1.2 Метод Монте-Карло позволяет реализовать общий подход к получению дискретного приближенного представления
7.1.3 Поскольку
7.1.4 Полученные в соответствии с 7.1.2 значения выходной величины рассматриваются как независимая выборка из совместного распределения вероятности для
7.1.5 Пусть
7.1.6 Приближение
7.1.7 Процедура применения метода Монте-Карло для трансформирования распределений в случае явной зависимости
a) выбирают число испытаний
b) формируют в каждом из
c) рассчитывают для каждого выборочного значения вектора входной величины вектор выходной величины
d) формируют представление
e) на основе
f) на основе
Примечание - Выборочное среднее для
7.1.8 Эффективность метода Монте-Карло при определении
7.2 Число испытаний метода Монте-Карло
7.2.1 Для применения метода Монте-Карло необходимо выбрать число испытаний
7.2.2 Поскольку нельзя заранее гарантировать, что выбранное значение
Примечание - Для сложной модели, например, требующей получения решения методом конечных элементов, применение большого числа испытаний может оказаться невозможным. В этом случае рекомендуется приближенно представить плотность распределения выходной величины
Рисунок 5 - Этапы трансформирования распределений и получения результатов оценивания неопределенности методом Монте-Карло для случая явной зависимости выходных величин от входных величин
7.3 Получение выборок из распределений вероятности
7.3.1 Для применения метода Монте-Карло формируют
7.3.2 Рекомендации по формированию выборки для наиболее распространенных распределений (равномерного, нормального, многомерного нормального и
7.3.3 Процедура формирования выборки для многомерного
Примечание - Для достоверности результатов применения метода Монте-Карло необходимо, чтобы генераторы псевдослучайных чисел, используемые для формирования выборок из заданных распределений, обладали соответствующими свойствами. В JCGM 101:2008 (пункт С.3.2) приведены некоторые тесты сформированных выборок на случайность.
7.4 Вычисление векторной выходной величины
7.4.1 Векторную выходную величину вычисляют для каждого из
Примечание - При использовании закона трансформирования неопределенностей, когда аналитические выражения производных функции измерения по входным величинам известны точно, значения этих производных и значения функции измерения берут в точке оценок входных величин. Если аналитические выражения для производных неизвестны, и для их оценок используют приближение в виде конечных разностей, то получают оценки только для функции измерения. Согласно рекомендации GUM [JCGM 100:2008 (примечание 2 к пункту 5.1.3)] значения функции измерения берут в точках оценок входных величин, а также в точках, отстоящих по обе стороны от этих оценок на расстоянии одной стандартной неопределенности (варьируя по очереди для каждой входной величины). В методе же Монте-Карло значения функций измерения получают при варьировании входных величин в окрестности их оценок, т.е. в точках, которые могут отстоять от этих оценок на несколько стандартных отклонений. Тот факт, что в методе Монте-Карло значения функции измерения получают в разных точках, может породить вопрос о свойствах вычислительной процедуры, в частности, о ее устойчивости и (в случае применения адаптивной процедуры) сходимости. При возникновении сомнений пользователю следует убедиться в том, что метод дает достоверные оценки выходной величины для достаточно больших окрестностей оценок входных величин. Однако следует ожидать, что вопросы устойчивости и сходимости численного метода могут стать критическими только в исключительных случаях.
7.4.2 Если
7.4.3 В случае модели с неявным видом функциональной зависимости в процедуре, описанной в 7.4.1, значения векторной выходной величины
7.5 Дискретное представление функции распределения для выходной величины
Дискретное представление функции распределения для векторной выходной величины формируется из
Примечание 1 -
Примечание 2 - Для
Примечание 3 - Построенное приближение
Примечание 4 - Если величина
7.6 Оценка выходной величины и соответствующей ей ковариационной матрицы
Среднее арифметическое и ковариационную матрицу
берут, соответственно, в качестве оценки
Примечание - Независимо от того, является ли модель измерения линейной или нелинейной, в пределе при
7.7 Область охвата для векторной выходной величины
7.7.1 Общие положения
Вообще говоря, существует сколь угодно много 100
a) эллипсоида. Данная область охвата будет близка к наименьшей области охвата в случае, если распределение вероятностей для
b) параллелепипеда. Область охвата данного вида допускает простую интерпретацию, но зачастую ее объем существенно превосходит объем наименьшей области охвата;
c) наименьшей области охвата, которая в общем случае не имеет какой-либо заданной геометрической формы и определяется в некотором приближении, зависящем от
7.7.2 Область охвата в форме эллипсоида
Уравнение 100
где
a) трансформируют точки
где
b) сортируют трансформированные точки
c) используют упорядоченные
d) строят 100
Примечание 1 - Основы описанной процедуры изложены в [1], где массив векторных данных сортируют по метрике
где
Примечание 2 - Приемлемость полученной области охвата для представления неопределенности измерения зависит от конкретной измерительной задачи. Полученное представление может стать неприемлемым, если распределение точек
Примечание 3 - Матрица
Примечание 4 - Процедура построения области охвата учитывает существование зависимости между элементами вектора
Примечание 5 - Для сложной модели, например, требующей получения решения методом конечных элементов, применение большого числа испытаний
Пример - Рассмотрим модель измерения
в которой входным величинам
Трансформированные точки
На рисунке 6 слева показаны 1000 выборочных точек для распределения вероятности
Модель измерения [формула (22)] рассматривается более подробно в разделе 9, где приведены также другие примеры построения областей охвата для двумерных выходных величин.
Рисунок 6 - Эллиптические области охвата, построенные в соответствии с процедурами 6.5.2.3 а) и 7.7.2 для примера из 7.7.2 (слева) и прямоугольные области охвата, построенные в соответствии с процедурами 6.5.2.3 b) и 7.7.3 для примера из 7.7.3 (справа)
7.7.3 Область охвата в форме параллелепипеда
100
где
a) трансформируют точки
b) сортируют трансформированные точки
c) используют упорядоченные
d) строят 100
Примечание - Процедура построения области охвата учитывает существование зависимости между элементами вектора
Пример - На рисунке 6 (справа) показаны те же 1000 точек, что и на рисунке 6 (слева). 95%-ная прямоугольная область охвата для
7.7.4 Наименьшая область охвата
Процедура построения наименьшей 100
a) в
b) равномерной
c) для каждого малого параллелепипеда подсчитывают число попавших в него выборочных точек
d) долю точек
e) все малые параллелепипеды располагают в порядке уменьшения приписанной им вероятности;
f) суммируют вероятности, приписанные малым параллелепипедам, начиная с первого и последовательно прибавляя вероятность каждого последующего вплоть до того, пока полученная сумма не превысит или не станет равной
g) совокупность малых параллелепипедов, внесших вклад в получение указанной суммы, рассматривают в качестве приближения наименьшей области охвата;
Примечание 1 - Данная процедура, заимствованная из [20], заключается в разбиении пространства выходных величин на ряд малых ячеек (параллелепипедов), аппроксимации вероятности попадания значения выходной величины
Примечание 2 - Параллелепипед, построенный на этапе a), должен включать в себя все точки
Примечание 3 - Число малых параллелепипедов, используемых для разбиения на этапе b) пространства выходных величин, ограниченного большим параллелепипедом, построенным на этапе a), влияет на качество полученного приближения.
Примечание 4 - В большинстве случаев качество приближения улучшается с ростом
Примечание 5 - Построенная в соответствии с вышеописанной процедурой наименьшая область охвата может оказаться несвязной, особенно, если
Примечание 6 - На этапе d) вероятность, приписанная каждому малому параллелепипеду, определяется относительной частотой попадания в него выборочного значения выходной величины. Использование более сложной аппроксимации (см. [23]) может позволить улучшить связность области охвата и сгладить ее границы.
Примечание 7 - Приписанные на этапе d) вероятности могут оказаться одинаковыми для двух или нескольких малых параллелепипедов. В этом случае упорядочивание малых параллелепипедов, выполняемое на этапе e), будет не единственным. Разным возможным вариантам упорядочивания могут соответствовать разные приближения области наименьшего охвата.
Примечание 8 - В двумерном случае (
Пример - Рассмотрим ту же самую задачу, что и в примере 7.7.2. На рисунке 7 показано приближение для наименьшей 95%-ной области охвата, полученное с использованием вышеуказанной процедуры при разбиении исходного большого прямоугольника на 10х10 малых прямоугольников (слева) и 100х100 малых прямоугольников (справа). Область охвата на рисунке 7 слева построена по 1000 точкам, случайно выбранным из распределения для
Рисунок 7 - Эллиптические области охвата, построенные по процедуре из 7.7.2, и приближения наименьших областей охвата, построенные по процедуре из 7.7.4 для разбиения 10х10 и 1000 точек выборки (слева) и для разбиения 100х100 и 1000000 точек выборки (справа)
7.8 Адаптивная процедура метода Монте-Карло
7.8.1 Общие положения
7.8.1.1 Эффективность метода Монте-Карло при определении оценки
7.8.1.2 Целью адаптивной процедуры, описанной в 7.8.3, является получение в среднем с заданной вычислительной точностью значений следующих величин:
a) оценки
b) вектора
c) положительно определенной матрицы
d) коэффициента охвата
Примечание 1 - То, что выполнение требования к точности вычислений может быть гарантировано не безусловно, а только в среднем, обусловлено природой случайности, используемой в методе Монте-Карло.
Примечание 2 - Как правило, чем больше вероятность охвата
Примечание 3 - Стандартные неопределенности
Примечание 4 - Если требуется построить область охвата иной формы, нежели эллипсоид в
Примечание 5 - Если в представлении результата измерения не требуется указывать область охвата, то процедуру увеличения числа испытаний останавливают после получения установившихся численных значений оценки
Примечание 6 - Матрица
7.8.2 Точность вычисления числовых значений
7.8.2.1 Если обозначить через
a) представляют значение
b) определяют
7.8.2.2 При проверке получения установившейся оценки
7.8.2.3 При проверке получения установившейся оценки матрицы
7.8.2.4 Матрица
Используя формулу
(см. примечание 3 к 3.21), стандартную неопределенность
величины
где
7.8.2.5 Точность вычисления
7.8.2.6 При оценивании неопределенности в целях последующих расчетов, которые включают в себя более сложные преобразования, например, вычисления по методу наименьших квадратов, связанные с явным или неявным обращением матрицы
7.8.2.7 Точность вычисления
7.8.2.8 При последующих расчетах неопределенности, основанных на использовании
7.8.3 Описание адаптивной процедуры
Практическая реализация адаптивной процедуры метода Монте-Карло с последовательным увеличением числа испытаний состоит в следующем:
a) задают в качестве
b) задают
c) задают
d) выполняют
e) используют
f) если
g) для
h) аналогичным образом вычисляют выборочные стандартные отклонения средних значений элементов вектора
i) используют все
j) для
k) определяют предел погрешности
I) вычисляют численную точность
m) если для любого
n) если возврата к этапу d) не произошло, то считают все вычисленные оценки установившимися и используют все
Примечание 1 - Чтобы алгоритм адаптивной процедуры был сходящимся, должны существовать математическое ожидание и ковариационная матрица
Примечание 2 - Выбор
Примечание 3 - Использование в процедуре минимального числа итераций, равного 10, позволяет предотвратить преждевременный останов алгоритма и, кроме того, делает более обоснованным предположение, сделанное в примечании 6. Аналогичное изменение, будучи внесенным в адаптивную процедуру метода Монте-Карло для моделей с единственной скалярной выходной величиной [JCGM 101:2008 (пункт 7.9.4)], также позволит улучшить результаты применения этой процедуры для ряда задач.
Примечание 4 - На этапе g)
Примечание 5 - Стандартные отклонения, полученные на этапах g) и h), уменьшаются по закону
Примечание 6 - Коэффициент 2, используемый на этапе m), основан на представлении выборочных средних случайными, нормально распределенными переменными и соответствует вероятности охвата приблизительно равной 95%.
Примечание 7 - В [28] рассматриваются некоторые улучшения адаптивной процедуры, изложенной в JCGM 101:2008 (подраздел 7.9).
8 Проверка результатов оценивания неопределенности по GUM сравнением с методом Монте-Карло
8.1 Способ оценивания неопределенности по GUM (далее обозначаемый GUF) во многих случаях работает хорошо. Однако не всегда можно сразу определить, соблюдены ли все условия для его применения [см. JCGM 101:2008, пункты 5.7 и 5.8]. Обычно гораздо проще оценить неопределенность с использованием метода Монте-Карло (при наличии соответствующего программного обеспечения), чем выяснить, выполнены ли все условия оценивания по GUM [8]. При наличии сомнений в обоснованности применения способа оценивания по GUM полученные с его помощью результаты нуждаются в проверке, а поскольку диапазон условий, при которых может быть применен метод Монте-Карло, значительно шире, чем для метода по GUM, то для такой проверки рекомендуется сопоставить результаты оценивания по GUM с результатами оценивания методом Монте-Карло. Если сравнение подтвердит обоснованность применения GUM, то способ оценивания неопределенности по GUM можно будет применять в будущем для схожих задач. В противном случае следует рассмотреть возможность замены на другой способ оценивания неопределенности, включая тот же метод Монте-Карло.
8.2 Для сравнения двух методов необходимо вначале:
a) применить способ оценивания неопределенности по GUM для получения (i) оценки
b) применить адаптивную процедуру метода Монте-Карло (см. 7.8.3), чтобы получить аналогичные оценки
8.3 Задача процедуры сравнения состоит в том, чтобы определить, согласуются ли между собой результаты, полученные способом оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, в рамках заданной точности вычислений. Для этого:
a) задают в качестве
b) для
c) рассчитывают предел погрешности вычисления
d) рассчитывают предел погрешности вычисления
е) сравнивают оценки, соответствующие стандартные неопределенности, коэффициенты корреляции, а также коэффициенты охвата, полученные с использованием способа оценивания неопределенности по GUM и метода Монте-Карло, чтобы определить, обеспечивает ли первый из указанных способов требуемое число правильных цифр в числовой записи полученных результатов. Для этого определяют
т.е. абсолютные разности соответствующих численных результатов. Тогда если для всех
Примечание 1 - Выбор вероятности охвата и формы области охвата влияет на результат сравнения. Поэтому сравнение двух способов оценивания выполняют только для заданных вероятности охвата
Примечание 2 - В тех ситуациях, когда построение области охвата не требуется, проверку проводят только на основании полученных значений
Примечание 3 - При проверке применимости способа оценивания неопределенности по GUM сравнением его результатов с результатами метода Монте-Карло, последние должны быть получены при достаточном числе испытаний
9 Примеры
9.1 Иллюстрации положений настоящего стандарта
9.1.1 В первом примере (см. 9.2) рассматривается линейная модель измерения, в которой входные величины могут быть общими для всех выходных величин или влиять только на некоторые из них. Для частных случаев данного примера существуют аналитические решения.
9.1.2 Во втором примере (см. 9.3) рассматривается нелинейная модель преобразования декартовых координат (действительной и мнимой части комплексной величины) в полярные координаты (модуль и аргумент комплексной величины). Для этого примера также в ряде случаев имеются аналитические решения [6].
9.1.3 В третьем примере (см. 9.3) рассматривается более сложная нелинейной модель. Он аналогичен примеру из GUM, связанному с одновременным измерением активного и реактивного сопротивлений [JCGM 100:2008 (раздел Н.2)]. Пример иллюстрирует обработку ряда одновременных независимых наблюдений векторной величины.
9.1.4 Четвертый пример (см. 9.5) посвящен измерению температуры с использованием термометра сопротивления. Этот пример демонстрирует обработку данных для одномерной и многомерной моделей измерения.
9.1.5 Многие из рисунков, используемых в примерах, для их лучшего восприятия даны в цветном исполнении. На контурных графиках каждому уровню контурной линии соответствует свой цвет. Если рисунок состоит из двух и более графиков, то для каждого из таких графиков один и тот же цвет использован для одних и тех же значений уровня за исключением особо оговоренных случаев. Если для сравнения результатов используется два и более рисунка, как это имеет место при сопоставлении результатов, полученных способом оценивания по GUM и методом Монте-Карло, то соответствующие графики на этих рисунках изображены в одних и тех же границах осей за исключением случаев, когда между этими результатами имеется существенное различие.
9.1.6 Поскольку первичными выходными данными для метода Монте-Карло являются
9.2 Аддитивная модель
9.2.1 Постановка задачи
В этом примере рассматривается аддитивная (линейная) двумерная модель измерения (см. пример в 7.7.2)
для трех разных примеров сочетаний плотностей распределения
9.2.2 Вычисления и результаты (пример 1)
9.2.2.1 В данном примере каждая входная величина
Таблица 3 - Результаты измерения способом оценивания неопределенности по GUM (GUF) и методом Монте-Карло (ММК) для аддитивной модели [формула (24)], с входными величинами
Метод | ||||||||
GUF | - | 0,000 | 0,000 | 1,414 | 1,414 | 0,500 | 2,45 | 2,24 |
ММК | 1х10 | 0,003 | 0,005 | 1,412 | 1,408 | 0,498 | 2,45 | 2,22 |
ММК | 1х10 | 0,000 | 0,000 | 1,416 | 1,415 | 0,500 | 2,45 | 2,21 |
ММК | 1х10 | 0,000 | 0,000 | 1,414 | 1,414 | 0,500 | 2,45 | 2,21 |
Адаптивный ММК | 0,35х10 | 0,001 | -0,001 | 1,417 | 1,417 | 0,502 | 2,45 | 2,22 |
Адаптивный ММК | 0,45х10 | 0,001 | -0,001 | 1,416 | 1,414 | 0,501 | 2,45 | 2,21 |
9.2.2.2 Способ оценивания неопределенности по GUM, обобщенный на случай нескольких выходных величин, дает оценку
получена по формуле (3),
Коэффициент корреляции, соответствующий оценкам
9.2.2.3 Применение метода Монте-Карло с числом испытаний
9.2.2.4 Полученная аналитически плотность распределения для
9.2.2.5 На рисунке 8 слева показана плотность двумерного нормального распределения для
для различных значений
Примечание - На рисунке 8 и других контурных графиках приведена цветовая шкала, показывающая соответствие цвета контурной линии определенному уровню (вероятности).
9.2.2.6 На рисунке 9 показаны маргинальная плотность распределения
9.2.2.7 На рисунке 10 слева показаны контурные линии приближения плотности распределения для
Рисунок 8 - Контурные линии совместных плотностей распределения выходных величин в аддитивной модели измерения [формула (24)], полученных способом оценивания неопределенности по GUM (слева) и методом Монте-Карло (справа) без сглаживания контуров при стандартном нормальном распределении входных величин (9.2.2)
Рисунок 9 - Маргинальная плотность распределения
Рисунок 10 - Контурные линии совместных плотностей распределения выходных величин в аддитивной модели измерения [формула (24)], полученных с использованием адаптивной процедуры Монте-Карло без сглаживания (слева) и со сглаживанием (справа) для тех же условий, что и на рисунке 8 (9.2.2)
Примечание - В большинстве случаев гладкость контурных линий для приближения плотности
9.2.2.8 Для сопоставления результатов, полученных способом оценивания неопределенности по GUM и с помощью адаптивной процедуры метода Монте-Карло, применена процедура проверки, описанная в разделе 8, при значении
Адаптивная процедура метода Монте-Карло была применена два раза. В обоих случаях продемонстрирована хорошая согласованность результатов, чего и следовало ожидать, поскольку в данном примере полностью соблюдены все условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM. Исключением мог стать только результат вычисления
9.2.3 Вычисления и результаты (пример 2)
9.2.3.1 Этот пример измерительной задачи идентичен описанному в 9.2.2 за тем исключением, что
Таблица 4 - Результаты измерения для тех же условий, что в таблице 3, за исключением того, что
Метод | ||||||||
GUF | - | 0,000 | 0,000 | 1,414 | 1,414 | 0,500 | 2,45 | 2,24 |
ММК | 1х10 | 0,008 | 0,010 | 1,414 | 1,410 | 0,500 | 2,38 | 2,15 |
ММК | 1х10 | 0,001 | 0,001 | 1,414 | 1,411 | 0,499 | 2,38 | 2,15 |
ММК | 1х10 | 0,000 | 0,000 | 1,414 | 1,414 | 0,500 | 2,38 | 2,15 |
Адаптивный ММК | 0,36х10 | 0,000 | -0,002 | 1,413 | 1,414 | 0,500 | 2,38 | 2,15 |
Адаптивный ММК | 0,35х10 | 0,002 | -0,001 | 1,418 | 1,415 | 0,502 | 2,38 | 2,15 |
9.2.3.2 Способ оценивания неопределенности по GUM дает абсолютно одинаковую двумерную плотность распределения для
9.2.3.3 На рисунках 11 (справа) и 12 показано, каким образом негауссовость распределения
9.2.3.4 Проверка применимости способа оценивания неопределенности по GUM, описанная в разделе 8 (см. также 9.2.2), была проведена сравнением результатов, полученных с его помощью и с помощью адаптивной процедуры Монте-Карло. Из таблицы 4 видно хорошее совпадение результатов для
9.2.4 Вычисления и результаты (пример 3)
9.2.4.1 Этот пример измерительной задачи идентичен описанному в 9.2.3 за исключением того, что стандартное отклонение для
Рисунок 11 - То же, что на рисунке 8 для примера с входной величиной
Рисунок 12 - То же, что на рисунке 9 для примера с входной величиной
9.2.4.2 Способ оценивания неопределенности по GUM дает оценку
получена по формуле (3), где в соответствии с условиями настоящего примера
Таблица 5 - Результаты измерения для тех же условий, что в таблице 4, за исключением того, что стандартное отклонение для
Метод | ||||||||
GUF | - | 0,000 | 0,000 | 3,162 | 3,162 | 0,900 | 2,45 | 2,24 |
ММК | 1х10 | 0,023 | 0,025 | 3,159 | 3,157 | 0,900 | 2,28 | 1,87 |
ММК | 1х10 | 0,003 | 0,002 | 3,161 | 3,161 | 0,900 | 2,28 | 1,87 |
ММК | 1х10 | 0,000 | 0,000 | 3,162 | 3,161 | 0,900 | 2,28 | 1,87 |
Адаптивный ММК | 1,49х10 | 0,002 | 0,002 | 3,163 | 3,162 | 0,900 | 2,28 | 1,87 |
Адаптивный ММК | 1,85х10 | 0,001 | 0,001 | 3,163 | 3,162 | 0,900 | 2,28 | 1,87 |
Коэффициент корреляции для оценок
9.2.4.3 Из рисунков 13 (справа) и 14 видно большее влияние (в сравнении с результатами в 9.2.3) распределения, описывающего
9.2.4.4 Проверка применимости способа оценивания неопределенности по GUM, описанная в разделе 8 (см. также 9.2.2 и 9.2.3), была проведена сравнением результатов, полученных с его помощью и с помощью адаптивной процедуры Монте-Карло. Из таблицы 5 видно хорошее совпадение результатов для
9.3 Преобразование системы координат
9.3.1 Постановка задачи
9.3.1.1 Комплексная величина
где
где
с входной величиной
Рисунок 13 - То же, что на рисунке 11 для примера с входной величиной
Рисунок 14 - То же, что на рисунке 12 для примера с входной величиной
Примечание - Формула (25) описывает двумерную модель измерения для выходных величин
9.3.1.2 Исходными данными для расчета неопределенности являются оценки
Предполагается, что размерность
9.3.1.3 Оценки
9.3.1.4 Рассмотрено шесть примеров, в каждом из которых
Рисунок 15 - Контурные линии совместных плотностей распределения входных величин в модели преобразования системы координат для примеров 1 (слева) и 4 (справа) (9.3.1.4)
9.3.2 Вычисления и результаты (случай нулевой ковариации)
9.3.2.1 Общие положения
9.3.2.1.1 Оценивание неопределенности выполняется применением трансформирования распределений (a) аналитически (для целей сравнения), (b) с использованием обобщенного способа оценивания неопределенности по GUM и (c) с использованием метода Монте-Карло.
9.3.2.1.2 Совместная плотность распределения для
9.3.2.1.3 Согласно способу оценивания неопределенности по GUM величине
а ковариационную матрицу
9.3.2.1.4 Метод Монте-Карло применен с числом испытаний
9.3.2.2 Пример 1 (
9.3.2.2.1 Результаты, полученные аналитически, способом оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло для входной оценки
Примечание - Приведенные в первой строке таблицы 6 значения
Таблица 6 - Результаты измерений для модели преобразования системы координат для случая нулевой ковариации между оценками входных величин (9.3.2.2.1, 9.3.2.3.1 и 9.3.2.4.1)
Метод | ||||||
0,001 | Аналитический | 0,013 | 0,000 | 0,007 | 1,744 | 0,000 |
GUF | 0,001 | 0,000 | 0,010 | 10,000 | 0,000 | |
ММК | 0,013 | -0,001 | 0,007 | 1,744 | 0,000 | |
0,010 | Аналитический | 0,015 | 0,000 | 0,008 | 1,118 | 0,000 |
GUF | 0,010 | 0,000 | 0,010 | 1,000 | 0,000 | |
ММК | 0,015 | 0,000 | 0,008 | 1,117 | 0,000 | |
0,100 | Аналитический | 0,101 | 0,000 | 0,010 | 0,101 | 0,000 |
GUF | 0,100 | 0,000 | 0,010 | 0,100 | 0,000 | |
ММК | 0,101 | 0,000 | 0,010 | 0,101 | 0,000 |
9.3.2.2.2 На трех верхних графиках рисунка 16 показаны плотности распределения для
9.3.2.2.3 На двух нижних графиках рисунка 16 изображены маргинальные плотности распределения для выходных величин
9.3.2.3 Пример 2 (
9.3.2.3.1 Результаты, полученные аналитически, способом оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло для входной оценки
9.3.2.3.2 Видно, что результаты, полученные с использованием метода Монте-Карло, согласуются с аналитическим решением. В то время как результаты, полученные с использованием способа оценивания неопределенности по GUM, от аналитического решения отличаются, хотя и не так сильно, как в примере с
Рисунок 16 - Совместные плотности вероятности для
Рисунок 17 - То же, что на рисунке 16, но для
9.3.2.4 Пример 3 (
9.3.2.4.1 Результаты, полученные аналитически, оцениванием неопределенности по GUM и методом Монте-Карло для входной оценки
9.3.2.4.2 Видно, что результаты, полученные с использованием способа оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло согласуются с аналитическим решением. Показанные на рисунке 18 маргинальные распределения, полученные тремя методами, практически неразличимы. Оценки, соответствующие стандартные неопределенности и соответствующие коэффициенты корреляции совпадают с точностью до двух значащих цифр.
Рисунок 18 - То же, что на рисунке 16, но для
9.3.3 Вычисления и результаты (случай ненулевой ковариации)
9.3.3.1 Оценивание неопределенности выполняется применением трансформирования распределений с использованием (а) обобщенного способа оценивания неопределенности по GUM (см. разделы 6 и C.3) и (b) метода Монте-Карло с числом испытаний
9.3.3.2 Результаты, полученные для входных оценок
Таблица 7 - Результаты измерений для модели преобразования системы координат для случая ненулевой ковариации между оценками входных величин (9.3.3.2)
Метод | ||||||
0,001 | GUF | 0,001 | 0,000 | 0,010 | 10,000 | 0,900 |
ММК | 0,012 | -0,556 | 0,008 | 1,599 | -0,070 | |
0,010 | GUF | 0,010 | 0,000 | 0,010 | 1,000 | 0,900 |
ММК | 0,015 | -0,343 | 0,008 | 0,903 | 0,352 | |
0,100 | GUF | 0,100 | 0,000 | 0,010 | 0,100 | 0,900 |
ММК | 0,101 | -0,009 | 0,010 | 0,102 | 0,882 |
9.3.3.3 Для случаев
9.3.3.4 Для случая
9.3.4 Обсуждение результатов
9.3.4.1 Для обоих случаев с нулевой и ненулевой ковариациями по мере удаления оценки
9.3.4.2 Для оценок
9.3.4.3 Численные данные, представленные в таблицах 6 и 7, соответствуют показанным на рисунках совместным и маргинальным плотностям распределения. В некоторых случаях такие данные могут быть неподходящими или недостаточными для описания распределения, характеризующего выходную величину. Так, для примера с входной оценкой
Примечание - Для выходной величины, имеющей многомерное нормальное распределение, вектор математического ожидания и соответствующая ковариационная матрица описывают это распределение исчерпывающим образом.
9.3.4.4 Для входных оценок
Рисунок 19 - Совместные плотности вероятности для
Рисунок 20 - То же, что на рисунке 19, но для
Рисунок 21 - То же, что на рисунке 19, но для
9.4 Одновременное измерение активного и реактивного сопротивлений
9.4.1 Постановка задачи
9.4.1.1 Активное
9.4.1.2 Применение закона Ома дает трехмерную модель измерения
связывающую входную величину
Примечание 1 - В настоящем примере в целях упрощения не учитываются систематические эффекты, которые могут оказывать влияние на оценки
Примечание 2 - Аналогичный пример рассмотрен в JCGM 100:2008 (раздел Н.2), где реактивному сопротивлению присвоено обозначение
9.4.1.3 В одинаковых условиях проведено
Примечание - В примере из JCGM 100:2008 (раздел Н.2) число наблюдений было равно пяти, и результаты тех наблюдений приведены в первых пяти строках таблицы 8. Однако для определения ковариационной матрицы (см. 9.4.2.5) необходимо как минимум 6 наблюдений. Поэтому в таблицу 8 было добавлено шестое наблюдение, полученное как среднее арифметическое значение первых пяти наблюдений. С точки зрения настоящего примера несущественно, каким способом было получено шестое наблюдение, но выбор в качестве шестого наблюдения среднего значения выборки позволяет сохранить это среднее значение неизменным.
Таблица 8 - Данные
Наблюдение | |||
1 | 5,007 | 19,663 | 1,0456 |
2 | 4,994 | 19,639 | 1,0438 |
3 | 5,005 | 19,640 | 1,0468 |
4 | 4,990 | 19,685 | 1,0428 |
5 | 4,999 | 19,678 | 1,0433 |
6 | 4,999 | 19,661 | 1,0445 |
9.4.2 Вычисления и результаты
9.4.2.1 Результат измерения в настоящем примере должен быть представлен в виде оценки
9.4.2.2 Для того, чтобы применить способ оценивания неопределенности по GUM, необходимо знать оценку
Ковариационная матрица
где
Таблица 9 - Оценки входных величин
Параметр | |||
Оценка | 4,9990 | 19,6610 | 1,04446 |
Стандартная неопределенность | 0,0026 | 0,0077 | 0,00061 |
Таблица 10 - Коэффициенты корреляции, соответствующие парам оценок входных величин
1 | -0,355 | 0,858 | |
1 | -0,645 | ||
1 |
Примечание - В JCGM 100:2008 (раздел Н.2) для данной задачи рассмотрены два способа оценивания неопределенности измерения, причем принцип, положенный в основу второго способа, изложен в JCGM 100:2008 в примечании к пункту 4.1.4. В настоящем стандарте этот второй способ не рассматривается по причинам, указанным в 4.1.
9.4.2.3 Согласно способу оценивания неопределенности по GUM, оценку
Ковариационную матрицу
Результаты, полученные с применением способа оценивания неопределенности по GUM, приведены в первой строке (метод GUF) таблицы 11.
Примечание 1 - В последнем столбце таблицы 11 приведены значения для 1 -
Примечание 2 - При имеющейся в модели, описываемой формулами (26), зависимости между выходными величинами:
ковариационная матрица
Таблица 11 - Результаты одновременного измерения активного и реактивного сопротивлений (9.4.2.3, 9.4.2.4 и 9.4.2.5)
Метод | |||||||||
GUF | 127,732 | 219,847 | 254,260 | 0,058 | 0,241 | 0,193 | -0,588 | -0,485 | 0,749х10 |
ММК | 127,732 | 219,847 | 254,260 | 0,130 | 0,536 | 0,429 | -0,587 | -0,482 | 0,770х10 |
Альтернативный GUF | 127,732 | 219,847 | 254,260 | 0,130 | 0,540 | 0,431 | -0,588 | -0,485 | 0,749x10 |
9.4.2.4 В предположении, что данные, приведенные в таблице 8, являются единственной доступной информацией о входных величинах и что каждое наблюдение можно рассматривать как выборку из одного и того же многомерного нормального распределения, входную величину
9.4.2.5 Величина
Учет этого обстоятельства позволяет несколько улучшить процедуру оценивания неопределенности по GUM, рассмотренную в 9.4.2.3, заменив в формуле (3),
Примечание 1 -
Примечание 2 - Ковариационная матрица для
9.4.2.6 Ковариационная матрица
9.4.2.7 Расхождение результатов, полученных при применении метода Монте-Карло и альтернативного способа оценивания неопределенности по GUM, пренебрежимо малы. Это означает, что функции измерения в формуле (26) могут быть линеаризованы с хорошей степенью приближения в окрестности оценок входных величин.
9.4.2.8 В JCGM 100:2008 рассматривается возможность описания выходной величины
9.5 Измерение температуры с использованием термометра сопротивления
9.5.1 Описание задачи
В настоящем примере рассматривается измерение температуры промышленным платиновым термометром сопротивления путем сравнения сопротивления термометра с эталонным сопротивлением в схеме измерительного моста. Если измерению подлежит конкретная температура, то для этой цели используют одномерную модель измерения (см. 9.5.2), а если нескольких температур - то многомерную модель (см. 9.5.3). В примере рассматривается обработка данных в рамках указанных моделей измерения способом оценивания неопределенности по GUM.
9.5.2 Измерение одной температуры
9.5.2.1 Температуру
где
Таблица 12 - Оценки входных величин
Параметр | |||||
Оценка | 99,99610 | 0,0039096 | -6,0x10 | 99,99947 | 1,0780057 |
Стандартная неопределенность | 0,00050 | 0,0000027 | 1,1х10 | 0,00010 | 0,0000050 |
Таблица 13 - Коэффициенты корреляции, соответствующие парам оценок входных величин при измерении температуры (9.5.2.1, 9.5.2.2 и 9.5.2.3)
1 | -0,155 | 0,092 | |
1 | -0,959 | ||
1 |
9.5.2.2 Оценка величины
9.5.2.3 Посредством измерительного моста определяют отношение сопротивлений
Полученное значение
9.5.2.4 Модель измерения температуры
В обозначениях, принятых в настоящем стандарте,
Примечание - Модель измерения, определяемая формулой (31), может быть преобразована к явному виду путем решения квадратного уравнения относительно
9.5.2.5 Оценку температуры
9.5.2.6 Стандартную неопределенность
с подстановкой оценок входных величин, приведенных в таблице 12, и соответствующей оценки выходной величины дает
Элементы ковариационной матрицы
9.5.3 Измерение нескольких температур
9.5.3.1 Термометр сопротивления, эталонное сопротивление и измерительный мост, описанные в 9.5.2, используют для измерения отношений сопротивлений
9.5.3.2 Оценки входных величин,
Таблица 14 - Оценки отношения сопротивлений и соответствующие им стандартные неопределенности при измерении нескольких температур (9.5.3.2)
Параметр | |||||
53 | 150054 | 300055 | 450056 | 600056 | |
50 | 50 | 50 | 50 | 50 | |
Параметр | |||||
780057 | 900058 | 1050059 | 1200060 | 780057 | |
50 | 50 | 50 | 50 | 50 |
9.5.3.3 Из формулы (31) следует, что связь отношения сопротивлений
В обозначениях, принятых в настоящем стандарте,
Примечание - Модель измерения, описываемая формулой (32), может быть приведена к явному виду (см. 9.5.2.4).
9.5.3.4 Оценки
Таблица 15 - Оценки выходных величин
Параметр | ||||||||||
Оценка | 0,0100 | 3,8491 | 7,6928 | 11,5410 | 15,3938 | 20,0232 | 23,1131 | 26,9797 | 30,8509 | 20,0232 |
Стандартная неопреде- | 0,0018 | 0,0027 | 0,0040 | 0,0046 | 0,0047 | 0,0045 | 0,0046 | 0,0060 | 0,0089 | 0,0045 |
Таблица 16 - Коэффициенты корреляции, соответствующие парам оценок выходных величин
1 | 0,252 | 0,127 | 0,079 | 0,059 | 0,054 | 0,056 | 0,054 | 0,050 | 0,054 | |
1 | 0,815 | 0,800 | 0,755 | 0,580 | 0,312 | -0,092 | -0,358 | 0,580 | ||
1 | 0,902 | 0,868 | 0,691 | 0,400 | -0,057 | -0,365 | 0,691 | |||
1 | 0,909 | 0,766 | 0,495 | 0,040 | -0,281 | 0,766 | ||||
1 | 0,847 | 0,629 | 0,208 | -0,115 | 0,847 | |||||
1 | 0,841 | 0,549 | 0,264 | 0,918 | ||||||
1 | 0,812 | 0,613 | 0,841 | |||||||
1 | 0,909 | 0,549 | ||||||||
1 | 0,264 | |||||||||
1 |
9.5.3.5 Ковариационную матрицу
где
матрица размерности 10x4, а
9.5.3.6 Результаты, приведенные в таблице 15 и на рисунке 22, показывают, как стандартная неопределенность
Примечание - Отрезки прямых линий, соединяющих точки на рисунках 22 и 23, использованы в целях большей наглядности.
9.5.3.7 На рисунке 23 график, построенный по данным последнего столбца таблицы 16, показывает, как изменяется коэффициент корреляции, соответствующий паре оценок
Рисунок 22 - Стандартная неопределенность
Рисунок 23 - Коэффициент корреляции, соответствующий паре оценок
Приложение А
(справочное)
Производные многомерных функций измерения с комплексными величинами
A.1 В настоящем приложении рассматривается компактный алгоритм вычисления частных производных первого порядка функции измерения
где
и
A.2 Пусть
где
ковариационная матрица размерности 2х2, соответствующая оценкам
A.3 Ковариационная матрица
размерности
соответствующая оценке
величины
A.4
в точке
A.5 Для произвольной комплексной скалярной величины
Тогда
Данное представление является основой для расчетов частных производных первого порядка комплексных величин
Приложение B
(справочное)
Вычисление коэффициентов чувствительности и ковариационных матриц для многомерных моделей
B.1 Если измерительная задача может быть выражена в терминах линейной алгебры [13], то вычислительно устойчивый алгоритм определения матрицы
a) для матрицы
b) матрицу
c) матрицу
d) решают матричное уравнение
e) решают матричное уравнение
f) вычисляют матрицу
g) вычисляют матрицу
h) вычисляют матрицу
i) матрицу
j) вычисляют
B.2 Указанная процедура может быть проверена методами элементарной матричной алгебры (см. [7]).
Приложение С
(справочное)
Преобразование системы координат
C.1 Общие положения
В настоящем приложении рассматриваются некоторые аспекты задачи преобразования системы координат (см. 9.3). В разделе C.2 приведен аналитический вывод совместной плотности распределения для
C.2 Аналитическое решение для особого случая
C.2.1 Предположим, что
где
рассматриваемый как функция
Примечание 1 - Формулу (С.1) иногда называют формулой замены переменных.
Примечание 2 - В случае одномерной величины (
C.2.2 Для задачи преобразования системы координат, рассмотренной в 9.3,
Таким образом,
и
Из этого следует, что при
С.2.3 Рассмотрим случай, когда
и
С.2.4 Маргинальное распределение для
где
а
Примечание 1 - Полученное распределение представляет собой распределение Райса с параметрами
Примечание 2 - Если
Примечание 3 - Если
С.2.5 Маргинальное распределение для
где
а
дополнительная функция ошибок.
C.2.6 Если, кроме того, выполнено условие
и, следовательно,
и маргинальным равномерным распределением на интервале от
C.3 Применение способа оценивания неопределенности по GUM
C.3.1 Для задачи преобразования системы координат, рассмотренной в 9.3, модель измерения может быть записана как двумерная модель
при этом подразумевается, что
C.3.2 Из 6.2.1.2 следует, что оценки величин
C.3.3 Матрицу чувствительности
в точке
C.3.4 Из 6.2.1.3 следует, что
является ковариационной матрицей, соответствующей оценкам
C.3.5 В рамках способа оценивания неопределенности по GUM
C.3.6 Рассмотрим случай, когда
с
Примечание - Напротив, при аналитическом решении (см. C.2) в случае, когда
Приложение D
(справочное)
Основные обозначения
матрица чувствительности размерности | |
матрица чувствительности размерности | |
целое десятичное число с | |
корреляция случайных переменных | |
ковариация случайных переменных | |
определитель Якоби | |
математическое ожидание случайной переменной | |
математическое ожидание случайной переменной | |
распределение Фишера с | |
одномерная функция измерения, зависящая от входных величин | |
многомерная функция измерения, зависящая от входных величин | |
дискретное представление функции распределения | |
функция распределения переменной | |
плотность распределения переменной | |
плотность совместного распределения переменной | |
функция распределения переменной | |
плотность распределения переменной | |
одномерная модель измерения, выражающая соотношение между выходной величиной | |
многомерная модель измерения, выражающая соотношение между выходной величиной | |
мнимая единица, | |
матрица Якоби | |
коэффициент охвата для области охвата в форме эллипсоида, соответствующий вероятности охвата | |
коэффициент охвата для области охвата в форме параллелепипеда, соответствующий вероятности охвата | |
нижняя треугольная матрица | |
целое число в представлении | |
число выходных величин | |
число испытаний метода Монте-Карло | |
матрица сумм квадратов и произведений | |
число входных величин | |
N(0,1) | стандартное нормальное распределение |
нормальное распределение с параметрами | |
многомерное нормальное распределение с параметрами | |
число наблюдений | |
количество значащих цифр числа, рассматриваемых как достоверные | |
вероятность события | |
вероятность охвата | |
m-мерная область охвата для | |
корреляционная матрица размерности | |
R(0, 1) | стандартное равномерное распределение на интервале [0, 1] |
равномерное распределение на интервале [ | |
коэффициент корреляции оценок | |
оценка стандартного отклонения по | |
стандартное отклонение для среднего | |
верхний индекс, обозначающий транспонирование матрицы | |
многомерное | |
расширенная неопределенность, соответствующая вероятности охвата | |
ковариационная матрица для оценок | |
ковариационная матрица для оценок | |
стандартная неопределенность оценки | |
стандартная неопределенность оценки | |
ковариация оценок | |
вектор | |
дисперсия случайной переменной | |
ковариационная матрица | |
ковариационная матрица случайной переменной | |
вектор | |
среднее арифметическое | |
оценка (математическое ожидание) величины | |
оценка (математическое ожидание) | |
вектор | |
оценка (математическое ожидание) величины | |
оценка (математическое ожидание) | |
оценка величины | |
трансформированное значение | |
значение вероятности | |
гамма-функция переменной | |
точность вычисления числового значения | |
переменная, описывающая возможные значения выходной величины | |
точность вычисления коэффициента охвата | |
точность вычисления коэффициента охвата | |
наибольшее собственное значение корреляционной матрицы | |
наименьшее собственное значение корреляционной матрицы | |
математическое ожидание случайной переменной, характеризуемой плотностью распределения | |
математическое ожидание векторной случайной переменной, характеризуемой плотностью совместного распределения | |
число степеней свободы | |
число эффективных степеней свободы, соответствующих стандартной неопределенности | |
переменная, описывающая возможные значения входной величины | |
переменная | |
точность вычисления наибольшего собственного значения | |
стандартное отклонение случайной переменной, характеризуемой распределением вероятностей | |
дисперсия (квадрат стандартного отклонения) случайной переменной, характеризуемой распределением вероятностей | |
ковариационная матрица случайной векторной переменной, характеризуемая совместным распределением вероятности | |
распределение хи-квадрат с v степенями свободы |
Приложение ДА
(справочное)
Сведения о соответствии ссылочных международных документов межгосударственным стандартам
Таблица ДА.1
Обозначение ссылочного международного документа | Степень соответствия | Обозначение и наименование соответствующего межгосударственного стандарта |
JCGM 100:2008 | IDT | ГОСТ 34100.3-2017 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения" |
JCGM 101:2008 | IDT | ГОСТ Р 54500.3.1-2011 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло" |
JCGM 104:2009 | IDT | ГОСТ 34100.1-2017 "Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководства по неопределенности измерения" |
_______________ | ||
JCGM 200:2008 | - | * |
* Соответствующий межгосударственный стандарт отсутствует. До его принятия рекомендуется использовать перевод на русский язык данного международного документа. Примечание - В настоящей таблице использовано следующее условное обозначение степени соответствия стандартов: - IDT - идентичный стандарт. |
Приложение ДБ
(справочное)
Дополнительные замечания к межгосударственным стандартам, вводящим международные руководства в области неопределенности измерения
ДБ.1 Общие замечания к серии межгосударственных стандартов ГОСТ ISO/IEC Guide 98
ДБ.1.1 Серия межгосударственных стандартов ГОСТ ISO/IEC Guide 98 вводит документы, разрабатываемые рабочей группой JCGM/WG 1 "Рабочая группа по выражению неопределенности измерения", входящей в состав объединенного комитета JCGM "Объединенный комитет по руководствам в метрологии" при Международном бюро мер и весов (см. "Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.1:2009" настоящего стандарта).
ДБ.1.2 Документы, разрабатываемые JCGM/WG 1, устанавливают общий единообразный подход к оценке точности измерений через концепцию неопределенности измерений и включают в себя как методы вычисления неопределенности измерения в разных измерительных задачах, так и учет неопределенности измерения при применении результатов измерения.
ДБ.1.3 Концепция неопределенности измерения разработана для выражения качества результата измерения взамен концепции погрешностей измерений с целью придания методической корректности используемым теоретико-вероятностным моделям.
В концепции погрешностей измерений результат измерения представляют в виде суммы истинного значения и погрешности, которая, в свою очередь, является суммой систематической и случайной составляющих. При этом для оценки точности измерения обычно используют один из двух способов: консервативный (оценка сверху) и теоретико-вероятностный. Выбор того или иного способа оценивания определяется конкретной измерительной задачей и дальнейшим использованием результата измерения. Каждый из этих подходов имеет ограничения в применении.
ДБ.1.4 При консервативном способе оценивания границы суммарной погрешности определяются арифметическим суммированием границ ее составляющих. Главный недостаток консервативного способа - слишком широкие границы суммарной погрешности, особенно в случае большого числа составляющих. Консервативный подход может найти применение в измерительных задачах, где необходимо обеспечить нахождение истинного значения измеряемой величины в установленных границах наверняка.
ДБ.1.5 При теоретико-вероятностном подходе для описания результата измерения используется случайная переменная, математическое ожидание которой совпадает с истинным значением измеряемой величины или смещено относительно него на величину систематической погрешности. Это дает возможность в условиях ограниченного числа повторных наблюдений измеряемой величины строить для нее точечные и интервальные оценки.
В теории погрешностей использована частотная интерпретация вероятности, наблюдения рассматриваются как выборка из заданной генеральной совокупности, оценки измеряемой величины и характеристик погрешности являются статистиками. В качестве интервальной оценки используется построенный на основе статистик доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.
Главным ограничением использования частотного подхода является невозможность его корректного распространения на задачу оценивания систематических погрешностей. Подход, основанный на "рандомизации" систематических погрешностей, применим лишь в отдельных случаях. В результате в рамках частотного подхода невозможно указать в общем виде правило построения доверительного интервала погрешности, особенно при наличии нескольких влияющих факторов, каждый из которых может описываться своей генеральной совокупностью и для которых могут быть получены свои выборки наблюдений. При отсутствии строгих математических методов метрологам часто приходилось обращаться к инженерным (эмпирическим) процедурам определения доверительных интервалов без оценки качества получаемых результатов
_______________
ДБ.1.6 Введение в метрологическую практику концепции неопределенности измерения "Руководством по выражению неопределенности измерения (GUM)", опубликованным в 1993 г. (см. "Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.1:2009" настоящего стандарта), явилось попыткой дать математически строгий единый подход к оценке составляющих неопределенности, обусловленных как случайными, так и систематическими факторами, при заданных условиях измерительной задачи. Однако GUM не смог в полной мере решить эту задачу, он появился как внутренне противоречивый документ, использующий одновременно частотную и байесовскую концепции вероятности. Единая процедура вывода, наиболее корректно и последовательно описанная в JCGM 101:2008, основана на отказе от частотной интерпретации вероятности при оценке точности измерения в пользу субъективного представления о вероятности. Если в частотном подходе понятие случайной переменной использовано для описания результата/погрешности измерения, то в субъективном подходе случайная переменная использована для описания возможных значений измеряемой величины. При этом получение распределения вероятностей, ассоциированного с измеряемой величиной, осуществляется на основе:
- составления для данной измерительной задачи модели измерений, связывающей измеряемую величину (выходную величину) со всеми значимыми влияющими величинами (входными величинами модели);
- приписывания входным величинам распределений вероятностей (в общем случае совместных), исходя из имеющейся информации об этих величинах и их наблюдений (при наличии);
- преобразования совместного распределения входных величин в распределение выходной величины согласно правилам преобразования случайных переменных.
В отличие от теории погрешностей (на основе частотного подхода) концепция неопределенности (на основе субъективной вероятности) не имеет принципиальных ограничений в получении окончательного результата измерения в виде функции распределения, ассоциированной с измеряемой величиной, что позволяет вычислить интервал вероятности (охвата) для любой заданной вероятности. Однако во многих измерительных задачах аналитическое решение задачи преобразования плотностей вероятностей невозможно. В этом случае точное решение (в пределах точности вычислений) всегда может быть получено числовым методом Монте-Карло (см. JCGM 101:2008).
ДБ.1.7 При наличии выборки наблюдений одной или нескольких входных величин (например, показываемой величины - см. JCGM 104:2009, пункт 3.2) входное распределение для этой величины получают применением теоремы Байеса. Поэтому переход от концепции погрешностей к концепции неопределенности может рассматриваться как переход от частотного (объективного) подхода в интерпретации вероятностей к байесовскому (субъективному).
Примечание - Существует широкий круг измерительных задач, в которых получают только одно наблюдение для входной величины. Однако и в этом случае возможно формальное применение теоремы Байеса, поэтому концепцию неопределенности измерения можно связывать с байесовским подходом без потери общности.
ДБ.1.8 Важными характеристиками результатов измерений в обоих подходах являются интервальные оценки, которые, однако, имеют разное содержание. В частотном подходе это доверительный интервал, не явно предполагающий возможность проведения неограниченной серии измерений и гарантирующий накрытие истинного значения измеряемой величины в заданной доле
Примечание 1 - Часто, задавая
Примечание 2 - Встречающееся в литературе утверждение, что оба подхода дают одинаковые интервальные оценки, несмотря на их разную интерпретацию, в общем случае неверно. Равенство оценок имеет место только в отдельных измерительных задачах, хотя к ним, например, относится часто встречающийся случай, когда можно обоснованно предположить наличие одной доминирующей влияющей величины, распределенной по нормальному закону. Для данной задачи, действительно, доверительный интервал (наименьший) совпадет с интервалом охвата (наименьшим), поскольку центральная статистика, используемая для построения доверительного интервала, подчиняется тому же
ДБ.1.9 Разница между частотным и байесовским подходами наглядно проявляется в том, насколько в рамках данного подхода легко получить ту или иную характеристику результата измерения. Частотный подход основан на получении оптимальных точечных оценок (статистик), по которым потом можно построить (не всегда) доверительный интервал. Распределение случайной погрешности, характеризующей качество измерений, может быть получено только в отдельных, частных случаях. В байесовском подходе ситуация противоположная. В первую очередь получают распределение вероятностей случайной величины, ассоциированной с измеряемой величиной. На его основе всегда есть возможность построить интервал охвата. Точечную оценку получают из распределения вероятностей после принятия каких-либо дополнительных допущений.
Примечание - В зависимости от целей измерений точечной оценкой могут служить разные параметры полученного распределения для измеряемой величины, такие как математическое ожидание, медиана или мода.
ДБ.1.10 Достоинством байесовского подхода, а значит, и концепции неопределенности измерений является наличие формализованной процедуры учета априорной информации разного рода (в том числе о возможных или наиболее вероятных значениях измеряемой величины) при получении результата измерений.
Сопоставление концепций погрешности и неопределенности измерения проиллюстрировано на рисунке ДБ.1.
ДБ.1.11 В рамках байесовского подхода решением измерительной задачи в общем случае является распределение, ассоциированное с измеряемой величиной, которое, в общем случае, индивидуально для каждой измерительной задачи и в наиболее полном виде описывает всю собранную при решении данной задачи информацию.
В целях сокращения объема передаваемых данных и удобства их хранения в документах, разрабатываемых JCGM/WG 1, основным способом представления результата измерения принят интервал охвата (или область охвата в случае многомерной измеряемой величины). При этом, однако, следует помнить, что за областью охвата всегда стоит распределение соответствующей случайной переменной и, главное, во многих практических приложениях результатов проведенного измерения необходимо знать не интервал охвата, а распределение, из которого оно получено. Поэтому, как правило, желательно сохранять результат измерения в виде распределения вероятностей случайной переменной, ассоциированной с измеряемой величиной.
Примечание - Вопросительные знаки на схеме частотного подхода показывают, что получение оценки данной характеристики затруднено или невозможно. Если особенности измерительной задачи позволяют получить распределение погрешности, то доверительный интервал может быть рассчитан. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Рисунок ДБ.1 - Обобщенная схема получения результата измерения в рамках частотного и байесовского подходов
ДБ.2 Дополнительные замечания к настоящему стандарту
ДБ.2.1 Настоящий стандарт является введением международного документа JCGM 102:2011, который распространяет концепцию неопределенности измерений, изложенную в JCGM 100:2008 (GUM) и уточненную в JCGM 101:2008, на случай многомерных измеряемых величин. Данная задача является типичной, например, при калибровке средств измерений, относящейся к числу многоступенчатых (многоэтапных) измерений. Однако в примерах процедуры многоступенчатых измерений допущены отклонения от принципов, перечисленных в ДБ.1.6.
ДБ.2.2 В 3.12 модель многоступенчатого измерения определена через совокупность подмоделей. Это несколько нарушает общность рассмотрения задачи, поскольку любое многоступенчатое измерение может быть определено через одну модель, которая объединяет все подмодели и в которой выходными величинами являются выходные величины каждой подмодели. Если ряд выходных величин являются вспомогательными (в задаче калибровки, например, это параметры калибровочной кривой), то в качестве окончательного результата измерения может быть взято маргинальное распределение, полученное интегрированием совместной плотности вероятности всех выходных величин по вспомогательным выходным величинам.
ДБ.2.3 Применение подмоделей вместо одной общей модели обусловлено прежде всего практическими соображениями. Следует иметь в виду, что при этом качество измерения может несколько ухудшиться, однако обычно этим обстоятельством можно пренебречь. Важнее то, что разбивка общей модели на подмодели, когда выходные величины одного этапа становятся входными величинами следующего, не предполагает и не требует преобразования уравнений, составляющих исходную модель. С этой точки зрения применение метода наименьших квадратов (см. пример в 3.12 и пример 3 в 6.6.6) плохо согласуется с байесовским подходом.
Примечание - Метод наименьших квадратов часто используется на практике без какого-либо дополнительного обоснования как удобная эмпирическая процедура, Теоретическое обоснование и доказательство оптимальности оценок метода наименьших квадратов базируется на частотной интерпретации вероятности.
Библиография
[1] | BARNETT, V. The ordering of multivariate data. J.R. Statist. Soc. A 139 (1976), 318 |
[2] | BICH, W., CALLEGARO, L., and PENNECCHI, F. Non-linear models and best estimates in the GUM. Metrologia 43 (2006), S196-S199 |
[3] | BICH, W., COX, M.G., and HARRIS, P.M. Uncertainty modelling in mass comparisons. Metrologia 30 (1993), 1-12 |
[4] | CHAYES, F. Petrographic Modal Analysis: An Elementary Statistical Appraisal. John Wiley & Sons, New York, 1956 |
[5] | COMTET, L. Bonferroni Inequalities - Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infnite Expansions. Reidel, Dordrecht, Netherlands, 1974 |
[6] | COX, M.G., ESWARD, T.J., HARRIS, P.M., MCCORMICK, N., RIDLER, N.M., SALTER, M.J., AND WALTON, J.P.R.B. Visualization of uncertainty associated with classes of electrical measurement. Tech. Rep. CMSC 44/04, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2004 |
[7] | COX, M.G., and HARRIS, P.M. SSfM Best Practice Guide No. 6, Uncertainty evaluation. Tech. Rep. MS 6, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2010 |
[8] | COX, M.G., HARRIS, P.M., AND SMITH, I.M. Software speci_cations* for uncertainty evaluation. Tech. Rep. MS 7, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2010 |
________________ * Текст документа соответствует оригиналу. - . | |
[9] | EAL. Calibration of pressure balances. Tech. Rep. EAL-G26, European Cooperation for Accreditation of Laboratories, 1997 |
[10] | ENGEN, G.F. Microwave Circuit Theory and Foundations of Microwave Metrology. Peter Peregrinus, London, 1992 |
[11] | GELMAN, A., CARLIN, J.B., STERN, H.S., AND RUBIN, D.B. Bayesian Data Analysis. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2004. Second edition |
[12] | GILL, P.E., MURRAY, W., AND WRIGHT, M.H. Practical Optimization. Academic Press, London, 1981 |
[13] | GOLUB, G.H., AND VAN LOAN C.F. Matrix Computations. John Hopkins University Press, Baltimore, MD, USA, 1996. Third edition |
[14] | HALL, B.D. On the propagation of uncertainty in complex-valued quantities. Metrologia 41 (2004), 173-177 |
[15] | KACKER, R., TOMAN, B., AND HUANG, D. Comparison of ISO-GUM, draft GUM Supplement 1 and Bayesian statistics using simple linear calibration. Metrologia 43 (2006), S167-S177 |
[16] | KERNS, D.M., AND BEATTY, R.W. Basic Theory of Waveguide Junctions and Introductory Microwave Network Analysis. Pergamon Press, London, 1967 |
[17] | LEWIS, S., AND PEGGS, G. The Pressure Balance: A Practical Guide to its Use. Second edition. HMSO, London, 1991 |
[18] | LIRA, I. Evaluating the Uncertainty of Measurement. Fundamentals and Practical Guidance. Institute of Physics, Bristol, UK, 2002 |
[19] | MARDIA, K.V., KENT, J.T., AND BIBBY, J.M. Multivariate Analysis. Academic Press, London, UK, 1979 |
[20] | POSSOLO, A. Copulas for uncertainty analysis. Metrologia 47 (2010), 262-271 |
[21] | RICE, J.R. Mathematical Statistics and Data Analysis, second ed. Duxbury Press, Belmont, Ca., USA, 1995 |
[22] | SCOTT, D.W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization. John Wiley & Sons, New York, 1999 |
[23] | SCOTT, D.W., and SAIN, S.R. Multi-dimensional density estimation. In Handbook of Statistics, Volume 23, Data Mining and Computational Statistics (Amsterdam, 2004), С. Rao and E. Wegman, Eds., Elsevier, pp.229-261 |
[24] | SILVERMAN, B.W. Density Estimation. Chapman and Hall, London, 1986 |
[25] | SMITH, D.B. Granite, G-2. Certificate of Analysis. United States Geological Survey, Denver, Colorado, 1998 |
[26] | SOMLO, P.I., AND UNTER J.D. Microwave Impedance Measurement. Peter Peregrinus, London, 1985 |
[27] | STRANG, G., and BORRE, K. Linear Algebra, Geodesy and GPS. Wiley, Wellesley-Cambridge Press, 1997 |
[28] |
УДК 389.14:006.354 | МКС 17.020 | Т80 | IDT |
Ключевые слова: измерения, неопределенность, модель измерения, многомерная модель, входные переменные, выходные переменные, оценки, стандартные неопределенности, ковариации, область охвата, способ оценивания по GUM, метод Монте-Карло |
Электронный текст документа
и сверен по:
, 2018